Формула развернутой формы записи числа. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Система счисления

Система счисления - это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами . Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные . Знаки, используемые при записи чисел , называютсяцифрами.

Внепозиционных системах счисления значение цифры не зависит от положения в числе .

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются.

Пример 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Пример 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

Впозиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции . Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой . Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая - три десятка, третья - три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметьалфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

В системе счисления с основанием q (q -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q . q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., q – 1. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутая форма записи числа

Пусть Aq - число в системе с основанием q , аi - цифры данной системы счисления, присутствующие в записи числа A , n + 1 - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа:

Развернутой формой числа А называется запись в виде:

Например, для десятичного числа:

В следующих примерах приводится развернутая форма шестнадцатеричного и двоичного чисел:

В любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную. Например, перевод в десятичную систему написанных выше чисел производится так:

Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

Ответ

Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1 · 10 4 + 4 · 10 3 + 3 · 10 2 + 5 · 10 1 + 1 · 10 0 + 1 · 10 -1 .

Переход от свернутой формы к развернутой

1. Посмотрите на данное вам число и определите количество его цифр.

Пример:
Напишите 5827 в развернутом виде.

Прочитайте число вслух: пять тысяч восемьсот двадцать семь.

Обратите внимание, что в этом числе есть четыре цифры. В результате развернутая форма будет содержать четыре слагаемых.

2. Перепишите число в виде суммы его цифр, оставив между ними некоторое расстояние, чтобы умножить каждую цифру на некоторую цифру (об этом далее).

Пример:
5827 перепишите так:

3. Цифры числа расположены в определенных позициях, которые соответствуют (справа налево) единицам, десяткам, сотням, тысячам и так далее. Определите название позиции и ее значение для каждой цифры (справа налево).

Пример:
Так как в данном числе четыре цифры, то вам нужно определить названия четырех позиций (справа налево).

7 соответствует единицам (значение = 1 = 10 0).
2 соответствует десяткам (значение = 10 = 10 1).
8 соответствует сотням (значение = 100 = 10 2).
5 соответствует тысячам (значение = 1000 = 10 3).

4. Умножьте каждую цифру данного числа на значение соответствующей ей позиции.

Пример:
5 · 10 3 + 8 · 10 2 + 2 · 10 1 + 7 · 10 0

Основанием позиционной системы счисления называется целое число q, которое возводится в степень.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в коде числа.

Базис десятичной системы счисления: …10 n , 10 n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Базис произвольной позиционной системы счисления: …q n , q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m , …

Основание в любой системе изображается как 10, но имеет разное количественное значение. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т. д.).

В системе счисления с основанием q (q -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

Для записи чисел в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., q – 1.

Следовательно, основание позиционной системы счисления равно количеству символов (знаков) в ее алфавите. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10.

Пример 1. Восьмеричная система счисления.

Основание: q = 8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Числа: например, 45023,152 8 ; 751,001 8 .

Пример 2. Пятеричная система счисления.

Основание: q = 5.

Алфавит: 0, 1, 2, 3 и 4.

Числа: например, 20304 5 ; 324,03 5 .

Пример 3. Шестнадцатеричная система счисления.

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0-9. Для записи остальных символов алфавита (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Числа: например, В5С3,1А2 16 ; 355,0FА01 8 .

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в следующем виде:

A q = ±(a n –1 ×q n –1 + a n –2 ×q n –2 +…+ a 0 ×q 0 + a –1 ×q –1 + a –2 ×q –2 +…+ a –m ×q –m ), (1) или ±.

Здесь А - само число; q - основание системы счисления;
а i - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; п - количество целых разрядов числа; т - количество дробных разрядов числа.

Разложение числа по формуле (1) называется развернутой формой записи . Иначе такую форму записи называют многочленной или степенной.

Пример 1. Десятичное число А 10 = 5867,91 по формуле (1) представляется следующим образом:

A 10 = 5×10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2 .

Пример 2. Формула (1) для восьмеричной системы счисления имеет вид:

A 8 = ±(a n –1 × 8 n –1 + a n –2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 +a –1 ×8 –1 + a –2 ×8 –2 +…+ a –m ×8 –m ),

где а i - цифры 0–7.

Восьмеричное число A 8 = 7064,3 в виде (1) запишется так:

A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1 .

Пример 3. Пятеричное число А 5 = 2430,21 по формуле (1) запишется так:

А 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2 .

Вычислив это выражение, можно получить десятичный эквивалент указанного пятеричного числа: 365,44 10 .

Пример 4. В шестнадцатеричной системе счисления запись 3AF 16 означает:

3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .