Где применяется оператор лапласа. ТАУ. Оператор Лапласа и передаточные функции. Общие криволинейные координаты и римановы пространства
лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой
(здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма
).
Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой
пусть - матрица, обратная к матрице 
Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид
где 
- локальные координаты на М.
Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики
Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид
где d -
оператор внешнего дифференцирования формы, d* -
формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах:
где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р
)-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. о. в локальных координатах записывается в виде
Здесь - ковариантные производные по
Тензор кривизны, - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс
где Е р -
действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г
( Е р
) -
пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е р
эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М,
можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е р.
Тогда определены операторы d*,
формально сопряженные к операторам d.
По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г( Е р
).
Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах.
На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы
где - пространство гладких форм типа ( р, q
).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М,
можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8):
Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М -
кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то
Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа:
В этом разложении где - Л. о. комплекса (6), так что - пространство "гармонических" сечений расслоения Е р
(в случае комплекса де Рама - это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна 
а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с 
В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене и пространства гармонич. сечений
Лит.
: Рам Ж. д е, Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976. М. А. Шубин.
- - интеграл движения точки постоянной массы mв поле потенциала Ньютона - Кулона L= - момент импульса - определяет плоскость орбиты, а совместно с интегралом энергии - ее конфигурацию...
Математическая энциклопедия
- - 1) Интеграл вида осуществляющий интегральное Лапласа преобразование функции f.действительного переменного t, в функцию F.комплексного переменного р. Был рассмотрен П. Лапласом в кон. 18- нач. 19 вв....
Математическая энциклопедия
- - асимптотических оценок - метод вычисления асимптотики при l>...
Математическая энциклопедия
- - последовательность конгруэнции в трехмерном проективном пространстве, в к-рой каждые две соседние конгруэнции образованы касательными к двум семействам линий сопряженной сети одной поверхности...
Математическая энциклопедия
- - трансформация Лапласа, - в широком смысле - интеграл Лапласа вида где интегрирование производится по нек-рому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f...
Математическая энциклопедия
- - установленная П. Лапласом зависимость капиллярного давления Рq от ср. кривизны поверхности е раздела граничащих фаз и поверхностного натяжения q: Рq = еq....
- - линейный дифференц. оператор, к-рый ф-ции ф ставит в соответствие ф-цию Встречается во мн. задачах матем. физики. Ур-ние дельта ф = 0 наз. Лапласа уравнением...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- - один из осн. законов капиллярных явлений. Согласно Л. з., разность р0 гидростатич...
- - линейный дифференц...
Большой энциклопедический политехнический словарь
- - Приморской области, Южно-Уссурийского края, на побережье Сев.-Японского моря, между мысами Авсеенко и Дурынина, севернее бухты Шхадгоу...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- - геодезический азимут А направления на наблюдаемую точку, полученный по его астрономическому азимуту α, исправленному с учётом влияния отклонения отвеса в пункте наблюдения...
- - космогоническая гипотеза об образовании Солнечной системы - Солнца, планет и их спутников из вращающейся и сжимающейся газовой туманности, высказанная П. Лапласом в 1796 в популярной книге «Изложение...
Большая Советская энциклопедия
- - зависимость перепада гидростатического давления Δp на поверхности раздела двух фаз от межфазного поверхностного натяжения σ и средней кривизны поверхности ε в рассматриваемой точке: Δр=р1- р2= εσ, где p1 -...
Большая Советская энциклопедия
- - лапласиан, дельта-оператор, Δ-оператор, линейный дифференциальный Оператор, который функции φ от n переменных x1, x2,.....
Большая Советская энциклопедия
- - установленная П. Лапласом зависимость????? - капиллярного давления?? от средней кривизны E поверхности раздела граничащих фаз и поверхностного натяжения?...
- - ЛАПЛАСА оператор - линейный дифференциальный оператор, который функции? ставит в соответствие функциюВстречается во многих задачах математической физики. Уравнение???0 называется Лапласа уравнением...
Большой энциклопедический словарь
"ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР" в книгах
Отставка Лапласа
Из книги Лаплас автораНАСЛЕДИЕ ЛАПЛАСА
Из книги Лаплас автора Воронцов-Вельяминов Борис НиколаевичСахар Лапласа
Из книги Истории давние и недавние автора Арнольд Владимир ИгоревичСахар Лапласа История Ф. Араго: в юности попал в плен к пиратам, потом выкуплен (каким-то англичанином в Египте?), вернувшись, стал активнейшим учёным, работал с Ампером и в оптике. Его выдвинули в Академию наук. Кандидат (до сих пор) должен посетить всех голосующих и
Принцип Лапласа
Из книги Как далеко до завтрашнего дня автора Моисеев Никита НиколаевичПринцип Лапласа В конечном счете, я не стал верующим, но и не превратился в атеиста. Мне казалось, что любые категоричные утверждения в этой сфере, лежащей на границе разума и эмоций – неуместны. Недоказуемо всё. Никакая логика не поможет в решении этого вечного вопроса.
Демон Лапласа
Из книги Больше, чем вы знаете. Необычный взгляд на мир финансов автора Мобуссин МайклДемон Лапласа 200 лет назад в науке господствовал детерминизм. Воодушевленные открытиями Ньютона, ученые рассматривали вселенную как часовой механизм. Французский математик Пьер Симон Лаплас хорошо выразил суть детерминизма в своем знаменитом труде «Опыт философии
43. Демон, Лапласа
Из книги Философ на краю Вселенной. НФ–философия, или Голливуд идет на помощь: философские проблемы в научно–фантастических фильмах автора Роулендс Марк43. Демон, Лапласа Гипотетическое сверхсущество, обладающее исчерпывающими знаниями о состоянии Вселенной и способное на основе этого точно предсказывать будущие изменения. Вспомните хотя бы пролов из «Особого мнения»: если бы они могли видеть не только грядущие
Лапласа азимут
БСЭЛапласа гипотеза
Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЛА) автора БСЭ автора Мейерс СкоттПравило 52: Если вы написали оператор new с размещением, напишите и соответствующий оператор delete Операторы new и delete с размещением встречаются в C++ не слишком часто, поэтому в том, что вы с ними не знакомы, нет ничего страшного. Вспомните (правила 16 и 17), что когда вы пишете такое
1. Оператор Select – базовый оператор языка структурированных запросов
Из книги Базы данных: конспект лекций автора Автор неизвестен1. Оператор Select – базовый оператор языка структурированных запросов Центральное место в языке структурированных запросов SQL занимает оператор Select, с помощью которого реализуется самая востребованная операция при работе с базами данных – запросы.Оператор Select
15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete()
Из книги C++ для начинающих автора Липпман Стенли15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete() Оператор-член new() может быть перегружен при условии, что все объявления имеют разные списки параметров. Первый параметр должен иметь тип size_t:class Screen {public:void *operator new(size_t);void *operator new(size_t, Screen *);// ...};Остальные параметры
Рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор-
ными свойствами. Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование:
В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы:
1. Если - скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим
где P, Q, R - дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим
Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты
3. Вычисляя векторное произведение , получим
Для постоянной функции и = с получим
а для постоянного вектора с будем иметь
Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V - линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например,
- скалярный дифференциальный оператор.
Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения.
Пример 1. Доказать, что
По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем
или
Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается.
Пример 2. Пусть u(xty,z) - скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) - векторная дифференцируемая функция. Доказать, что
4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде
Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем. Так как ие - постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что
а (на последнем шаге мы опустили индекс е).
В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому
В итоге получаем
Замечай ие 2. Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором - он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор ,
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_i\
- коэффициенты Ламе .
Цилиндрические координаты
В цилиндрических координатах вне прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r=0
:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Сферические координаты
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left(rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f=f(r)
в n
-мерном пространстве:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.
Параболические координаты
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
Цилиндрические параболические координаты
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.
Общие криволинейные координаты и римановы пространства
Пусть на гладком многообразии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
задана локальная система координат и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g_{ij}
- риманов метрический тензор на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
, то есть метрика имеет вид
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j
.
Обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g^{ij}
элементы матрицы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (g_{ij})^{-1}
и
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}
.
Дивергенция векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F
, заданного координатами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F^i
(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}
) на многообразии X
вычисляется по формуле
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)
,
а компоненты градиента функции f - по формуле
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.
Оператор Лапласа - Бельтрами на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).
Значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f
является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
Применение
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
Вариации и обобщения
- Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
- Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.
См. также
Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"
Литература
Ссылки
| |||||||||||||||||||
Любая часть системы управления, будь то регулятор, объект или датчик, имеет вход и выход. С помощью входов и выходов они взаимодействуют с другими элементами системы и с внешней средой. При воздействии входного сигнала на элемент системы, в этом элементе происходят какие-то внутренние изменения состояния, которые приводят к изменению выходного сигнала. То есть элемент системы представляет собой некоторую функцию зависимости y от x. Это можно изобразить на рисунке 1.
Рисунок 1 – элемент системы управления с входом и выходом
Определение функции F(x) и есть, по сути, основная задача, решаемая в рамках теории автоматического управления. Знание F(x) объекта поможет составить правильный алгоритм управления им, F(x) датчика определит характер обратной связи, а синтез F(x) сделает систему по-настоящему работоспособной. Саму F также иногда называют оператором, поскольку она оперирует входным сигналом.
Базовыми операциями в ТАУ являются интегрирование и дифференцирование. Допустим, сигнал нарастает в течение некоторого времени, что зачастую очень характерно для сигналов в системах управления, тогда для описания этого процесса его следует «собрать» интегралом во всем временном промежутке:
Дифференцирование также чрезвычайно полезно в теории автоматического управления. Оператор дифференцирования в противовес оператору интегрирования берет производную от входного сигнала, то есть:
Здесь зарождается очень важное понятие в ТАУ – оператор Лапласа p, который призван заменить запись d/dt, иначе говоря
Также в некоторых источниках этот оператор представляется произведением мнимой единицы на угловую частоту, то есть p=jω. Но мы пока не будем трогать частотный диапазон, ибо это обширная тема и просто запомним два простейших правила:
Как же выглядит интегрирование и дифференцирование сигнала? Интегрирование сигнала скачкообразной формы показано на рисунке 2а. Здесь все просто, сигнал будет инкрементироваться на каждом шаге интегрирования, пока не достигнет за время t1 изначально заданного значения. А что если продифференцировать такой сигнал? Ни в коем случае! Это угроза безопасности Вселенной, такой сигнал пробьет небесный свод и устремится в бесконечность к звездам (рисунок 2б)! Короче говоря, математика гласит, что производная мгновенно измененного сигнала равна бесконечности, а поскольку бесконечность является идеальной и недостижимой величиной, то в реальном мире такая операция не имеет смысла. Иначе говорят, что такая операция физически не реализуема. В общем, p в чистом виде не применяется, а используется только в составе более сложных выражений, где эта p будет каким-то образом компенсирована.
Рисунок 2 – интегрирование и дифференцирование сигнала
Теперь, когда мы знаем про соотношение выходного сигнала к входному и про оператор Лапласа, мы можем перейти к такому понятию как передаточная функция. По сути, передаточная функция, записываемая как W(p), представляет собой отношение выход/вход. Система, записанная через передаточные функции, более наглядна, и в отношении нее можно применять более-менее простые методы анализа и синтеза. Но о них позже, а сейчас рассмотрим на несложном примере, как же получаются такие функции.
Предположим у нас имеется звено, процессы происходящие в котором описываются следующим уравнением:
Слева выходная величина (и ее производная), справа входная (в сложных выражениях там тоже могут быть производные). T – какая-то постоянная времени, K – какой-то коэффициент. Теперь производим замену на оператор Лапласа:
Как было выше отмечено, передаточная функция равна отношению выход/вход:
Вот так мы получили передаточную функцию инерционного звена первого порядка. В ТАУ имеется несколько типовых звеньев (включая это), из которых можно составить любую систему, любое звено какой угодно сложности. Сейчас только отметим, что передаточные функции в зависимости от порядков числителя и знаменателя могут быть правильными и неправильными. Вышеприведенная функция является правильной, также говорят строго правильной, потому что порядок знаменателя больше порядка числителя. И это хорошо, она реализуема. Ниже приведена еще пара функций.
Функция типа 1 также правильная, но не строго. Степень числителя равна степени знаменателя, но ничего страшного, она тоже реализуема. А вот функция вроде 2 не реализуема в силу наличия квадрата в числителе и отсутствия квадрата или более высокой степени в знаменателе, то есть в данном случае будет какая-то некомпенсированная производная. Таким образом, за порядком в передаточных функциях надо строго следить!
Похожие записи:
Монокуляры с большой кратностью - особенности и преимущества Монокуляр увеличение 50
World of Tanks вылетает при запуске — исправляем ошибки World of tanks вылетает после каждого боя
Серверный ключ 1с по сети
Как включается WiFi на ноутбуках Добавить новую беспроводную сеть на ноутбук
Как узнать серийный номер iPhone?
